4.-¿Qué dice el teorema de Gödel? ¿Demuestra que la verdad es inalcanzable?
Desde los tiempos de Euclides, hace ya dos mil
doscientos años, los matemáticos han intentado partir de ciertos
enunciados llamados «axiomas» y deducir luego de ellos toda clase
de conclusiones útiles.
En ciertos aspectos es casi como un juego, con dos
reglas. En primer lugar, los axiomas tienen que ser los menos
posibles. En segundo lugar, los axiomas tienen que ser consistentes.
Tiene que ser imposible deducir dos conclusiones que se contradigan
mutuamente.
Cualquier libro de geometría de bachillerato comienza
con un conjunto de axiomas: por dos puntos cualesquiera sólo se
puede trazar una recta; el total es la suma de las partes, etc.
Durante mucho tiempo se supuso que los axiomas de Euclides eran los
únicos que podían constituir una geometría consistente y que por
eso eran «verdaderos».
Pero
en el siglo xix
se demostró que modificando de cierta manera los axiomas de Euclides
se podían construir geometrías diferentes, «no euclidianas». Cada
una de estas geometrías difería de las otras, pero todas ellas eran
consistentes. A partir de entonces no tenía ya sentido preguntar
cuál de ellas era «verdadera». En lugar, de ello había que
preguntar cuál era útil.
De hecho, son muchos los conjuntos de axiomas a partir
de los cuales se podría construir un sistema matemático
consistente: todos ellos distintos y todos ellos consistentes.
En
ninguno de esos sistemas matemáticos tendría que ser posible
deducir, a partir de sus axiomas, que algo es a
la vez así y no
así, porque entonces las matemáticas no serían consistentes,
habría que desecharlas. ¿Pero qué ocurre si establecemos un
enunciado y comprobamos que no podemos demostrar que es o
así o
no así?
Supongamos que digo: «El enunciado que estoy haciendo
es falso.»
¿Es
falso? Si es falso, entonces es falso que esté diciendo algo falso y
tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero si estoy diciendo algo
verdadero, entonces es cierto que estoy diciendo algo falso y sería
verdad que estoy diciendo algo falso. Podría estar yendo de un lado
para otro indefinidamente. Es imposible demostrar que lo que he dicho
es o
así o
no así.
Supongamos que ajustamos los axiomas de la lógica a
fin de eliminar la posibilidad de hacer enunciados de ese tipo.
¿Podríamos encontrar otro modo de hacer enunciados del tipo «ni
así ni no así»?
En 1931 el matemático austriaco Kurt Gödel presentó una
demostración válida de que para cualquier conjunto de axiomas
siempre es posible hacer enunciados que, a partir de esos axiomas, no
puede demostrarse ni que son así ni que no son así. En ese sentido,
es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los
cuales se pueda deducir un sistema matemático completo.
¿Quiere decir esto que nunca podremos encontrar la
«verdad»? ¡Ni hablar!
Primero: el que un sistema matemático no sea completo
no quiere decir que lo que contiene sea «falso». El sistema puede
seguir siendo muy útil, siempre que no intentemos utilizarlo más
allá de sus límites.
Segundo: el teorema de Gödel sólo se aplica a
sistemas deductivos del tipo que se utiliza en matemáticas. Pero la
deducción no es el único modo de descubrir la «verdad». No hay
axiomas que nos permitan deducir las dimensiones del sistema solar.
Estas últimas fueron obtenidas mediante observaciones y medidas
—otro camino hada la «verdad».
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