¿Qué diferencia hay entre los números ordinarios y los números binarios y cuáles son las ventajas de cada uno?
Los
números ordinarios que utilizamos normalmente están escritos «en
base 10». Es decir, están escritos como potencias de diez. Lo que
escribimos como 7.291 es en realidad 7
103
más 2
102
más 9
101
más 1
100.
Recuérdese que 103
= 10
10
10 = 1.000; que 102
=10
10 = 100; que 101
= 10, y que 100
= 1. Por tanto, 7.291 es 7
1.000 más 2
100 más 9
10 más 1, que es lo que decimos cuando leemos el número en voz
alta: «siete mil doscientos noventa (nueve decenas) y uno».
Estamos ya tan familiarizados con el uso de las
potencias de diez que sólo escribimos las cifras por las que van
multiplicadas (7.291 en este caso) e ignoramos el resto.
Pero
las potencias de diez no tienen nada de especial. Igual servirían
las potencias de cualquier otro número mayor que uno. Supongamos,
por ejemplo, que queremos escribir el número 7.291 en potencias de
ocho. Recordemos que 80
= 1; 81
=8; 82
= 8
8 =64; 83=
8
8
8 = 512; y 84
= 8
8
8
8 = 4.096. El número 7.291 se podría escribir entonces como 1
84
más 6
83 más
1
82
más 7
81
más 3
80.
(El lector lo puede comprobar haciendo los cálculos pertinentes.) Si
escribimos sólo las cifras tenemos 16.173. Podemos decir entonces
que 16.173 (en base 8) = 7.291 (en base 10).
La
ventaja del sistema en base 8 es que sólo hay que recordar siete
dígitos aparte del 0. Si intentásemos utilizar el dígito 8,
llegaríamos a obtener alguna vez 8 x 83,
que es igual a 1 x 84,
con lo cual siempre podemos utilizar un 1 en lugar de un 8. Así, 8
(en base 10) = 10 (en base 8); 89 (en base 10) = 131 (en base 8);
etc. Por otro lado, los números tienen más dígitos en el sistema
de base 8 que en el de base 10. Cuanto más pequeña es la base,
tantos menos dígitos diferentes se manejan, pero tantos más entran
en la composición de los números.
Si
utilizamos el sistema de base 20, el número 7.291 se convierte en 18
202
más 4
201
más 11
200.
Si escribimos el 18 como # y el 11 como %, podemos decir que # 4 %
(en base 20) = 7.291 (en base 10). En un sistema de base 20
tendríamos que tener 19 dígitos diferentes, pero a cambio
tendríamos menos dígitos por número.
El 10 es una base conveniente. No exige recordar
demasiados dígitos diferentes y tampoco da demasiados dígitos en un
número dado.
¿Y los números basados en potencias de dos, es decir
los números en base 2? Esos son los «números binarios», de la
palabra latina que significa «dos de cada vez».
El
número 7.291 es igual a 1
212
más 1
211
más 1
210
más 0
29
más 0
28
más 0
27
más 1
26
más 1
25
más 1
24
más 1
23
más 0
22
más 1
21
más 1
20.
(El lector puede comprobarlo, recordando que 29,
por ejemplo, es 2 multiplicado por sí mismo nueve veces: 2
2
2
2
2
2
2
2
2 = 512.) Si nos limitamos a escribir los dígitos tenemos
1110001111011 (en base 2) = 7.291 (en base 10).
Los números binarios contienen sólo unos y ceros, de modo que la
adición y la multiplicación son fantásticamente simples. Sin
embargo, hay tantos dígitos en números incluso pequeños, como el
7.291, que es muy fácil que la mente humana se confunda.
Los computadores, por su parte, pueden utilizar conmutadores de dos
posiciones. En una dirección, cuando pasa la corriente, puede
simbolizar un 1; en la otra dirección, cuando no pasa corriente, un
0. Disponiendo los circuitos de manera que los conmutadores se abran
y cierren de acuerdo con las reglas binarias de la adición y de la
multiplicación, el computador puede realizar cálculos aritméticos
a gran velocidad. Y puede hacerlo mucho más rápido que si tuviese
que trabajar con ruedas dentadas marcadas del 0 al 9 como en las
calculadoras de mesa ordinarias basadas en el sistema de base 10 o
decimal.
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